| Brevi appunti su campo magnetico e forza di Lorentz |

Questi appunti vogliono trattare gli argomenti relativi al campo magnetico; alla forza di Lorentz, dimostrandola e calcolandone raggio che periodo; il selettore di velocità; l’effetto Hall; il flusso del campo; il teorema di Gauss; la circuitazione del campo magnetico; la corrente concatenata; il teorema di Ampère, con dimostrazione. Ricorda comunque che prima di vedere questi appunti è necessario tenere a mente i fenomeni magnetici fondamentali

CAMPO MAGNETICO

E’ generato da cariche in moto ed esercita forze sulle cariche solo se sono in moto: cariche ferme non subiscono forze magnetiche

Non è importante che le cariche elettriche siano in un filo per risentire della forza magnetica: anche in un tubo catodico, il relativo fascio catodico si comporterà allo stesso modo di un filo

tubo catodico fascio — In figura: tubo catodico, fascio di elettroni in un tubo a vuoto

In questo caso (per effetto termoionico) viene generata una nuvoletta gli elettroni sparata su un pannello fosforescente da una differenza di potenziale
Infatti se si decidesse di affiancare un filo percorso da corrente e un tubo catodico, questi interagiranno come due fili

fascio catodico e filo di corrente — In figura: un fascio catodico e un filo di corrente. Se il verso della corrente è il medesimo, si attrarranno; viceversa si respingeranno

FORZA DI LORENTZ

Ricorda che ad ogni punto della spazio è associato un vettore che può essere ascrivibile al:

Campo gravitazionale: vettore per la massa (del campo). Si tratta di una forza agente sulla massa
Campo elettrico: vettore per la carica (del campo). Si tratta di una forza agente sulla carica
Campo magnetico:
dove
- $forza sulla carica$ è la forza agente sulla singola carica
- $carica$ è la carica (in coulomb)
- $vettore velocità$ è la velocità moltiplicata secondo prodotto vettoriale
- $vettore campo magnetico$ il campo magnetico
- Modulo calcolabile come: $formula della forza di lorentz$ , assumendo $angolo alfa$ l’angolo compreso tra $\vec{v}$ e $vettore campo magnetico$
- Direzione calcolata secondo la regola della mano destra
  Cariche negative (verso non convenzionale della corrente): regola della mano sinistra
  
  Cariche positive (verso convenzionale della corrente): regola della mano destra
- Nota: se i due vettori sono paralleli, si avrà seno uguale 0; una carica che si muove parallela alle l.d.c. non subisce forza

DIMOSTRAZIONE DELLA FORZA DI LORENTZ

Si suppone di avere un filo percorso da corrente (immersa in un campo magnetico). La forza su questo filo la possiamo considerare come la somma delle forze agenti sui singoli portatori di carica
Supponiamo che tutti gli elettroni si muovono con la stessa velocità di deriva v (anche se poi c’è la resistenza, ma non è importante in questo caso)
Si può esprimere l’intensità di corrente tenendo conto (= in funzione) della velocità di deriva esprimendola come
$intensità di corrente in funzione della velocità di deriva$ dove:
$carica elettrone$ indica la carica
$densità volumica di carica$ la densità volumica di carica (oppure il numero di elettroni per unità di volume
$area filo$ la sezione (Area) del filo
v la velocità (di deriva dell’elettrone)
Per calcolare la forza sul singolo elettrone si applicheranno i due passaggi descritti: dapprima come somma delle singole forze (forza totale) fratto il numero di elettroni; poi ricordando l’espressione di Ampère per esprimere la forza totale
$forza sul singolo elettrone velocità di deriva$
Sostituisco la $i$ e la $n$ calcolabile come il prodotto di n (densità volumica di carica) per il volume (sezione per lunghezza), con la formula al punto 2
$forza sul singolo elettrone velocità di deriva$
Ricordando che la forza di Lorentz indica il modulo della forza sul singolo elettrone

In figura: la forza magnetica F su un filo percorso da corrente è la somma vettoriale delle forze magnetiche F (tutte uguali) che
agiscono su ogni elettrone di conduzione.

OSSERVAZIONE
Dato che $vettore campo magnetico b perpendicolare$ è perpendicolare alla velocità, considerando un intervallo molto piccolo di tempo, il vettore $\vec{v}$ avrà la stessa direzione e verso dello spostamento $vettore spostamento delta s$ (perché trattiamo porzioni infinitesimali; si ragiona a livelli così piccoli che non si riesce più a notare la differenza di direzione tra i due vettori); allora il prodotto scalare (che si ottiene dal coseno) tra $vettore forza per spostamento$ ed $vettore forza per spostamento$ , se perpendicolari, vale zero ( infatti $cos(90^{\circ})=0$ ). Quindi la forza di Lorentz non compie lavoro

Non compie lavoro perché in ogni istante la forza è perpendicolare allo spostamento istantaneo $vettore forza per spostamento$ e quindi alla velocità della carica

Ricordando l’equazione del lavoro ossia forza per spostamento, ricordando i vari casi, qua noteremo che il lavoro è nullo

$equazione lavoro forza per spostamento$

Se non compie lavoro il modulo non varia!

Pertanto l’unica azione che questa forza di Lorentz compie è quella di cambiare verso e direzione

Ricorda il teorema sull’energia cinetica:

$teorema sull'energia cinetica$

Se allora l’energia cinetica non cambia, Allora il modulo non cambia (= il valore della velocità) ma solo la sua direzione. Allora la forza di Lorentz modifica solo la traiettoria del corpo

Il moto con cui non cambia il modulo ma la sua direzione è il moto circolare uniforme:

In cui è uniforme la velocità (il suo modulo non cambia)
Se la particella è perpendicolare al campo

La forza di Lorentz ha le caratteristiche della forza centripeta (perché il moto della carica è circolare uniforme)

Decidiamo allora di calcolare due elementi della forza di Lorentz (riconducibili al moto circolare uniforme) ossia il raggio, velocità e il periodo.

Ricordiamo l’espressione della forza relativa al moto circolare uniforme per cui dal secondo principio della dinamica, $secondo principio della dinamica forza massa accellerazione$ , tenendo conto però che stavolta l’accelerazione è l’accelerazione centripeta, quindi $secondo principio della dinamica forza massa accelerazione centripeta$ Poiché l’accelerazione si può esprimere come $accelerazione centripeta formula equazione velocità raggio$ possiamo riscrivere l’equazione della forza come $formula equazione moto circolare uniforme forza centripeta massa velocità raggio f m v r$

Uguagliamo quanto scritto con la forza di Lorentz, ossia $forza di lorentz$ , ottenendo:

$forza di lorentz accelerazione centripeta mcu m.c.u. m.c.u q v b m v r$

RAGGIO
Il raggio, estraendolo dalla formula sarà: $formula equazione di lorentz raggio$ oppure $formula equazione di lorentz raggio$
VELOCITA’
La velocità invece $formula equazione di lorentz velocità$
PERIODO
Ricordando che il periodo T si esprime come $formula equazione di lorentz periodo$ , possiamo sostituire la velocità $v$ con quanto ricavato per la formula della velocità, ottenendo quindi
$formula equazione di lorentz periodo$

In realtà bisogna precisare che si tratta di un moto rettilineo uniforme (m.c.u) solo nel caso in cui la particella sia perpendicolare al corpo; infatti possiamo distinguere due casi per la forza di Lorentz:

Con $vettore v b perpendicolare perpendicolari forza di lorentz$ , se ne avrà un m.c.u
Con : se ne avrà un moto elicoidale. Bisogna ragionare sempre su due vettori – solo loro sono i “protagonisti” – avremo infatti un moto composto, dato scomponendo il vettore in e in
- Se considero $vettore v perpendicolare forza di lorentz moto elicoidale$ avrò un moto circolare uniforme
- Se considero $vettore v parallelo forza di lorentz moto elicoidale$ avrò un moto rettilineo uniforme

SELETTORE DI VELOCITÀ

Dispositivo per selezionare le particelle in base alla loro velocità

È formato da un condensatore con due armature con correnti uscenti e campo elettrico uniforme (non si considerano gli effetti di bordo), con due lati, il primo da cui entrano gli elettroni e dall’altra un foro da cui escono

selettore di velocità effetto hall — In figura: il selettore di velocità. Nota come $\odot$ indichi le linee di campo uscenti mentre $\otimes$ quelle uscenti

In figura: il selettore di velocità. Nota come $\odot$ indichi le linee di campo uscenti mentre $\otimes$ quelle uscenti

Dato che la particella attraverserà il foro solo se si muove di moto rettilineo uniforme (m.r.u.), ovverosia la carica uscirà solo se le forze che vi agiscono sono in equilibrio (la risultante delle forze dev’essere nulla), noi decidiamo allora di conoscere, di calcolare, questa velocità

Come fare?

Ricordiamo che agiscono 2 forze, ovvero quella:
>elettrica $\vec{F}=q\cdot \vec{E}$ Verso dato dal segno dello scalare
>magnetica $\vec{F}_{m}= q\vec{v}\cdot\vec{B}$
Uguagliamo le tue forze ottenendo $\fbox{q}\cdot\vec{E}=\fbox{q}\cdot\vec{v}\cdot\vec{B}\rightarrow \vec{E}=\vec{v}\cdot\vec{B}\rightarrow \vec{v}=\frac{\vec{E}}{\vec{B}}$

EFFETTO HALL

Un fenomeno analogo si ha con una lamina conduttrice percorsa da corrente perpendicolare al campo magnetico in cui è immersa la lamina.

Si osservano due casi:

Nel caso in cui si muovano gli elettroni, questi si sposteranno da destra verso sinistra, con la forza di Lorentz che le sposterà verso il bordo superiore della laminaSi creerà una differenza di potenziale perchè le cariche negative si addenseranno da una parte, °controcreando* così una zona analoga e continua di cariche positive
In figura: gli elettroni si sposteranno non seguendo il verso della corrente (per convenzione impostato sulle cariche positive) ma l’opposto
Con una carica positiva si otterà l’effetto analogo
In figura: le cariche positive si sposteranno seguendo il verso della corrente (per convenzione impostato sulle cariche positive)

L’accumulo di cariche porta ad un nuovo equilibrio; la nascita di una differenza di potenziale porta alla formazione della forza elettrica (che si ottiene infatti con le differenze di potenziale) che va a bilanciare la forza di Lorentz; ciò porta all’effetto Hall, calcolabile come:

\\1)\Delta V = \frac{{\Delta U}}{q} = \frac{{F \cdot d}}{q}\\\\ 2)F = q \cdot E\\\\ \Delta V = \frac{{\cancel{q} \cdot E \cdot d}}{{\cancel{q}}} = E \cdot d \to E = - \frac{{\Delta V}}{d} — Il segno meno “corregge” la formula per quanto riguarda il verso (non il valore): il campo elettrico E infatti si annulla nel verso in cui diminuisce il potenziale e gli elettroni (negativi) si muovono proprio dal potenziale più basso a quello più alto. da qui l’esigenza (a livello vettoriale) di aggiustare la formula

FLUSSO DEL CAMPO MAGNETICO

In una superficie qualunque:
Come per il flusso del campo elettrico, si suddivide la superficie in tante superfici tali da poterle considerare piane e aventi la stesso campo magnetico in tutti i suoi punti. Quindi se ne calcola ogni prodotto scalare relativo e si sommano
${\Phi _\Omega }(\vec B) = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\vec B}_i}} \cdot \Delta {\vec s_i} \cdot \cos ({\alpha _i})$ Si misura in tesla per metro [T*m^2], o weber [Wb]
In una superficie qualunque: in questo caso il calcolo si semplifica (se la superficie è immersa in un campo magnetico $\vec{B}$ uniforme)
${\Phi _\Omega }(\vec B) = {\vec B_i} \cdot \Delta {\vec s_i} \cdot \cos ({\alpha _i})$ Esempio di flusso positivo, che si ottiene con un angolo acuto

Esempio di flusso negativo, che si ottiene con un angolo ottuso

TEOREMA DI GAUSS

Il flusso del campo magnetico attraverso qualunque superficie chiusa è uguale a zero, questo perché le linee di campo sono chiuse (ossia non possono aprirsi, non esiste infatti il monopolo magnetico, ogni linee inizia da un polo e finisce sempre nel corrispettivo

Poiché la somma delle linee di campo è sempre uguale a zero, ne deduciamo che $\Phi_\Omega(\vec B) =0$

CIRCUITAZIONE DEL CAMPO MAGNETICO

Analogamente per un campo elettrico, si pone una linea chiusa orientata L; la si suddivide in piccoli tratti tali da poterli considerare ciascuno rettilineo e con lo stesso campo magnetico nei suoi punti. Per ogni tratto si calcola il prodotto scalare di $\vec{B}_{i}\cdot\Delta\vec{l}_{i}$ e alla fine si calcola la somma di tutti questi prodotti, ossia la sommatoria

$\Gamma_{L}(\vec{B})=\sum_{i=1}^{n}\vec{B}_{i}\cdot\Delta\vec{l}_{i}$ Misurata in Tesla fratto metro [T/m]

Tieni a mente che il valore della circuitazione è fondamentale per poter capire se siamo davanti ad una forza conservativa o meno, perché se la circuitazione la calcoliamo in un circuito chiuso e otteniamo un valore diverso da zero, vuol dire che stiamo rilevando dell’energia dissipata, quindi stiamo interagendo con una forza dissipativa. Le forze conservative infatti sono capaci di “conservare” la loro energia in un sistema chiuso (=circuito chiuso)

Nel caso della circuitazione del campo magnetico bisogna fare ricorso al teorema di Ampere, che a sua volta richiede una definizione, quella di °cosa si intende per corrente concatenata ad un particolare cammino?°

CORRENTE CONCATENATA: Una corrente è definita concatenata (con il cammino chuso L), se attraversa una superficie che ha L come contorno

TEOREMA DI AMPERE: Per la circuitazione del campo magnetico nel cammino L si dimostra la validità del teorema di Ampere per cui

$teorema di ampere$

La circuitazione è proporzionale alla corrente totale concatenata

Il segno delle correnti i è positivo se il campo che lo genera ha lo stesso verso di percorrenza di L

teorema di ampere linea orientata direzione verso corrente — In figura: il verso della corrente è dato dalla regola della mano destra

Dato che può verificarsi la condizione di $\Gamma \neq 0$ , allora il campo magnetico non è conservativo

DIMOSTRAZIONE

Si può dimostrare facilmente con:

Un filo rettilineo infinito (evitando così gli effetti di bordo)
Il cammino L delle dimensioni di una circonferenza perpendicolare al filo e con il suo centro nel filo stesso (avendo così i vettori $\Delta \vec l_{i}$ e $\vec{B_{i}}$ sempre paralleli